Afinal, qual a diferença entre “ser possível” e “ser provável” ?
Ao extrairmos uma Bola de um saco contendo 7 Bolas Brancas e 3 Bolas Pretas, é possível que saia uma Bola Preta?
Sim, é possível, afinal só existem 2 alternativas: ou sai Branca ou sai Preta !!!

Mas, isto é pouco provável ou muito provável?  Bem, agora a conversa é um pouco mais delicada.

Cálculo das Probabilidades nos informa o que ocorrerá, quando a quantidade de extrações for bastante grande. Com poucas extrações tudo é possível! À medida que o número de extrações for aumentando, a quantidade de Bolas Brancas extraídas vai se aproximando de 70% e a quantidade de Bolas Pretas extraídas se aproxima de 30%! Faça este experimento você mesmo!

Esta é a ideia central do conceito de Probabilidade e é assim que devemos interpretar a frase: “é provável que“.

Dizer que a chance de se ganhar numa determinada Loteria é de 1 em 20, não significa que jogando-se 20 vezes você vai ganhar!!!
Significa que se você jogar muitas, muitas, muitas vezes, aí sim você ganhará em torno de 1 em cada 20 vezes!

Tomamos o cuidado para introduzir estes conceitos sobre Probabilidades de maneira bastante informal, pois usar o rigor matemático não cabe nestes pequenos textos.

Probabilidade: Como se calcula?

Agora, vamos nos concentrar no cálculo da probabilidade de um acontecimento ocorrer, por exemplo:

… no jogo da Mega Sena, jogando com 10 Dezenas, qual a chance de eu acertar a Sena?

…retirando uma carta de um baralho completo, qual a chance de eu obter uma carta de Copas?

 

… no lançamento de um dado, qual a chance de ocorrer um número menor do que 3, na face voltada para cima

 

 

Noções sobre Probabilidades –  abordadas de maneira informal

Através de exemplos daremos as noções de Evento, Possibilidade, Espaço Amostral e de Probabilidade.

Exemplo 01:
Saco contendo 4 Bolas: 3 Brancas e 1 Preta.
Evento (Experimento): extração de 1 bola do saco.
Possibilidade: há 2 possibilidades: a bola extraída é Branca (B) ou é Preta (P).
Espaço Amostral: conjunto de todos os casos possíveis: { B, B, B, P }.
Probabilidade: Há uma chance maior de que a bola extraída seja Branca, mas quão maior será? Podemos calculá-la?

Exemplo 02:
Um dado com suas 6 faces numeradas: 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
Evento: lançamento do dado e observar a face voltada para cima.
Possibilidade: há 6 possibilidades: a face voltada para cima será 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. São os casos possíveis.
Espaço Amostral: conjunto de todos os casos possíveis: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Probabilidade: Qual a chance de que a face voltada para cima seja 4?

Exemplo 03:
Um baralho com suas 52 cartas, de 4 naipes diferentes: 13 de Copas (C), 13 de Espadas (E), 13 de Ouro (O) e 13 de Paus (P).
Evento: extrair uma carta do baralho e verificar o naipe.
Possibilidade: há 4 possibilidades: Copas (C) ou Espadas (E) ou Ouro (O) ou Paus (P). São os casos possíveis.
Espaço Amostral: conjunto de todos os casos possíveis: { C, E, O, P }
Probabilidade: Qual a chance da carta extraída ser de naipe vermelho (Copas ou Ouro)?

Probabilidades:
A Probabilidade é expressa por um número entre 0 e 1 ou por uma porcentagem.

Para se calcular, basta dividir a quantidade de casos de sucesso do evento pela quantidade de casos possíveis.

Vamos aplicar em cada um dos exemplos dados:

Exemplo 1: casos possíveis = { B, B, B, P } e casos de sucesso = { B, B, B} Probabilidade = 3/4 = 0,75 ou 75% (0,75 x 100). Desta forma, a Probabilidade de extrairmos 1 Bola Preta (P) é de 1/4 = 0,25 = 25% (0,25 x 100), ou seja, é 3 vezes mais provável sair uma Bola Branca (B) do que uma Bola Preta (P).

Exemplo 2: No caso da face voltada para cima ser 4, temos:
casos possíveis = {1,2,3,4,5,6} e casos de sucesso = {4}, portanto Probabilidade = 1/6 = 0,166 ou 16,6% (0,166 x 100).

Exemplo 3: Para naipes vermelhos, tem-se: casos possíveis = { C, E, O, P } e casos de sucesso = { C, O }, portanto: Probabilidade = 2/4 = 0,5 ou 50% (0,5 x 100).

Um texto interessante e ilustrador pode ser lido em Probabilidades

Na maior parte dos casos a contagem, do número de casos possíveis e também do número de casos de sucesso, é feita usando a Análise Combinatória. As Probabilidades, que apresentamos nas Loterias de Prognósticos da CAIXA, utilizam as fórmulas da Análise Combinatória para o cálculo do Número de Combinações de Dezenas.

Por exemplo, para jogarmos na Mega Sena com 10 Dezenas, quantas Apostas de 6 Dezenas devemos fazer?

Colocando este problema de outra forma: escolhidas as 10 Dezenas com as quais queremos jogar, devemos escolher 6 para “montar” nossa 1ª Aposta de 6 Dezenas. Em seguida, devemos escolher entre as 10 Dezenas, outras 6 Dezenas para “construirmos” nossa 2ª Aposta de 6 Dezenas e, assim por diante, até que tenhamos escolhido as Dezenas de 6 em 6 de todas as maneiras possíveis, sem repetir a escolha. Quantas escolhas existem?
Cada escolha, de 6 Dezenas dentre as 10 Dezenas, é uma Combinação das 10 tomadas de 6 em 6. O número de Combinações das 10 tomadas de 6 em 6 é indicado por Combin(10;6). Esta é a notação utilizada pelo Excel e podemos utilizá-lo para obter o resultado final. Nesta caso: Combin(10;6) = 210.

Qual a probabilidade de ganharmos a Sena da Mega Sena, jogando com 10 Dezenas?

Matematicamente falando, a probabilidade de acerto é “Quantidade de Apostas Jogadas dividida pela Quantidade de Apostas Possíveis“.

 

A Probabilidade é dada por:
Combin(10;6) / Combin(60;6) = 210 / 50 063 860 = 1 / 238 399 = 0,000419%
Dizemos que a chance é de 1 em 238.399!

O Combin(60;6) nos dá o número de casos possíveis, ou seja, o número de resultados possíveis e o Combin(10;6) nos dá o número de resultados com os quais estamos jogando, isto é, o número de resultados de sucesso!

Probabilidade de prêmios nas Loterias

Vamos nos concentrar no cálculo da probabilidade (chance) de acertar nos Jogos das Loterias administradas pela CAIXA.
Inicialmente daremos as noções de como fazer os cálculos para acertar na Mega Sena.

Dividiremos em duas partes:

• chance para acertar o Prêmio Máximo (Sena)
• chance para acertar os Prêmios Secundários (Quina e Quadra

 

(a) Prêmio Principal

O Prêmio Principal de uma Loteria de Prognósticos é aquele em que se acertam todas as Dezenas Sorteadas. Na Mega Sena é o Prêmio da Sena, na LotoFácil é o Prêmio dos 15 Pontos, na Quina é o da Quina e assim por diante.

 

MEGA SENA

 

 

Como já vimos, a chance de acertarmos a Sena, na Mega Sena, é dada por:

Combin(j;6) / Combin(60;6), onde j é a quantidade de Dezenas Jogadas. (use a função Combin() do Excel para fazer os cálculos)

Dica: Use a função Combin() do Excel para fazer os cálculos

Portanto, jogando-se com:

(1) 10 Dezenas, chance é de Combin(10;6) / Combin(60;6) = 210 / 50.063.860 = 1 / 238.399 … 1 chance em 238.399

(2) 15 Dezenas, chance é de Combin(15;6) / Combin(60;6) = 5.005 / 50.063.860 = 1 / 10.002 … 1 chance em 10.002

… e assim por diante.

 

LOTOFÁCIL

 

 

A chance de acertarmos os 15 Pontos, na LotoFácil, é dada por:
Combin(j;15) / Combin(25;15), onde j é a quantidade de Dezenas Jogadas.

Portanto, jogando-se com:
(1) 18 Dezenas, chance é de Combin(18;15) / Combin(25;15) = 816 / 3.268.760 = 1 / 4.005 … 1 chance em 4.005

(2) 20 Dezenas, chance é de Combin(20;15) / Combin(25;15) = 15.504 / 3.268. 860 = 1 / 210 … 1 chance em 210

QUINA

 

 

 

A chance de acertarmos a Quina, na Quina, é dada por:
Combin(j;5) / Combin(80;5), onde j é a quantidade de Dezenas Jogadas.

Portanto, jogando-se com:
(1) 8 Dezenas, chance é de Combin(8;5) / Combin(80;5) = 56 / 24.040.016 = 1 / 429.286 … 1 chance em 429.286

(2) 12 Dezenas, chance é de Combin(12;5) / Combin(80;5) = 792 / 24.040. 016 = 1 / 30.353 … 1 chance em 30.353

(b) Prêmios Secundários

Os Prêmios Secundários de uma Loteria de Prognósticos são aqueles em que não se acertam todas as Dezenas Sorteadas.
Na Mega Sena são os Prêmios da Quina e da Quadra, na LotoFácil são os Prêmios dos 14 Pontos, dos 13 Pontos, dos 12 Pontos e dos 11 Pontos, já na Quina são os da Quadra e do Terno e assim por diante.

 

MEGA SENA

 

 

A chance de acertarmos a Quadra, na Mega Sena, é dada por:
Combin(j;4)xCombin(60-j;6-4) / Combin(60;6), onde j é a quantidade de Dezenas Jogadas.
E para o acerto da Quina, é:

Combin(j;5)xCombin(60-j;6-5) / Combin(60;6), onde j é a quantidade de Dezenas Jogadas.

Vamos explicar o porquê desta fórmula…

Suponha que estamos jogando com 10 Dezenas e que vamos calcular a Probabilidade (chance) de acertarmos a Quadra.
Nossas Apostas ganhadoras (de 6 Dezenas) deverão conter as 4 Dezenas que formam a Quadra que acertamos + 2 outras Dezenas que erramos. Veja esquema abaixo:

Quantas Apostas deste tipo existem?
Temos:
Universo: 60 Dezenas
Dezenas Jogadas: 10
Dezenas não Jogadas: 60-10=50
Dezenas Sorteadas: 6
Aposta: 4 Dez. acertadas + 2 Dez. erradas

Devemos calcular de quantas maneiras podemos escolher 4 Dezenas entre as 10 que estamos jogando [Combin(10;4)] e, para cada uma, devemos calcular de quantas maneiras podemos escolher 2 Dezenas entre as Dezenas não jogadas [Combin(60-10;6-4)] para completar cada Aposta de 6 Dezenas, que acertou a Quadra. Com isso, temos certeza de estarmos calculando todas as Apostas que acertaram apenas 4 das 10 Dezenas jogadas.

Já que: Chance = Apostas Jogadas / Apostas Possíveis, temos:
Chance = Combin(10;4) X Combin(60-10;6-4) / Combin(60;6)
Chance =         210       X        1.225               /  50.063.860
Chance =               257.250                          /  50.063.860
Chance =                    1                              /        194,6

Ou seja, 1 chance em 195

 

 

LOTOFÁCIL

 

 

A chance de acertarmos 14 Pontos, na LotoFácil, é dada por:
Combin(j;14)xCombin(25-j;15-14) / Combin(25;15), onde j é a quantidade de Dezenas Jogadas.

Vamos comentar a fórmula.

Suponha que estamos jogando com 20 Dezenas e que vamos calcular a Probabilidade (chance) de acertarmos os 14 Pontos.
Nossas Apostas ganhadoras (de 15 Dezenas) deverão conter as 14 Dezenas que acertamos + 1 Dezena que erramos. Veja esquema abaixo:

Quantas Apostas deste tipo existem?
Temos:
Universo: 25 Dezenas
Dezenas Jogadas: 20
Dezenas não Jogadas: 25-20=5
Dezenas Sorteadas: 15
Aposta: 14 Dez. acertadas + 1 Dez. errada

Devemos calcular de quantas maneiras podemos escolher 14 Dezenas entre as 20 que estamos jogando [Combin(20;14)] e, para cada uma, devemos calcular de quantas maneiras podemos escolher 1 Dezena entre as

Dezenas não jogadas [Combin(25-20;15-14)] para completar cada Aposta de 15 Dezenas, que acertou os 14 Pontos.

Com isso, temos certeza de estarmos calculando todas as Apostas que acertaram apenas 14 das 20 Dezenas jogadas.

Já que: Chance = Apostas Jogadas / Apostas Possíveis, temos:

Chance = Combin(20;14) X Combin(25-20;15-14) / Combin(25;15)

Chance =      38.760       X            5                      /  3.268.760

Chance =                193.800                               /  3.268.760

Chance =                    1                                    /        16,8

Ou seja, 1 chance em 17

Lembre-se: Isto não significa que jogando 17 vezes você ganhará!

Significa que se você jogar uma quantidade grande de vezes, em Média, você ganhará 1 vez a cada 17 vezes.

Observações:
(1) Estas ideias são válidas para qualquer Loteria de Prognósticos Numéricos. Para as Loterias administradas pela CAIXA valem, portanto, para a Mega Sena, Dupla Sena, Quina, LotoFácil, LotoMania, TimeMania e Dia de Sorte;

(2) A fórmula que usamos para o cálculo da chance de acerto dos Prêmios Secundários vale também para o Prêmio Principal.

Por exemplo, para calcular a chance de acerto da Quina, na Quina, jogando com uma única Aposta de 5 Dezenas:

Chance = Combin(5;5) X Combin(80-5;5-5) / Combin(80;5)
Chance =          1        X        1                    /  24.040.016
Chance =                   1                              /  24.040.016
Ou seja, 1 chance em 24.040.016

Esperamos ter auxiliado e inspirado a estudar mais sobre o assunto.